Description du livre
Ce manuel d’analyse présente les bases de la théorie de l’intégration et ses premières applications au programme de la Licence 3 et du Master 1 de mathématiques pures ou appliquées. Il propose plusieurs niveaux de lecture où l’on distingue clairement les connaissances indispensables à maîtriser lors d’une première initiation et les applications à aborder lors d’une lecture plus approfondie. Il sera très utile aux candidats à l'agrégation de mathématiques.
Cette 8e édition augmentée développe encore les applications de la théorie de l’intégration et y ajoute un nouveau chapitre consacré à la Transformée de Laplace ainsi que 10 exercices supplémentaires inédits.
Sommaire :
I. Rappels et préliminaires
1. Intégrale au sens de Riemann – 2. Éléments de théorie des cardinaux – 3. Quelques compléments de topologie
II. Théorie de la mesure
De Riemann vers Lebesgue – Sur une généralisation de l’intégrale définie (par H. Lebesgue) – 4. Tribu de parties d’un ensemble – 5. Fonctions mesurables – 6. Mesure positive sur un espace mesurable
III. Intégrale de Lebesgue
7. Intégrale par rapport à une mesure positive – 8. Théorèmes de convergence et applications – 9. Espaces Lp – 10. Théorèmes de représentation et applications – 11. Mesure produit. Théorèmes de Fubini – 12. Mesure image. Changement de variables – 13. Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor
IV. Convolution. Transformées de Fourier et de Laplace
14. Convolution et applications – 15. Transformée de Fourier – 16. Transformée de Laplace
V. En guise de conclusion : problèmes, QCM et solutions succinctes des exercices et QCM
16. Questionnaires à choix multiples – 17. Quelques problèmes – 18. Vers la solution des exercices – 19. Réponses aux QCM
Bibliographie – Index